ප්‍රමේයයන් සහ සිද්ධාන්ත
එක සරල රේඛාවක් තවත් සරල රේඛාවකට හමුවීමෙන් සෑදෙන බද්ධ කෝණ දෙකේ ඓක්‍යය සෘජුකෝණ දෙකකට සමාන වේ.
AB̂D + DB̂C =
සෘජුකෝණ 2 යි.
a + b = සෘජුකෝණ 2 යි.
a + b = 180°
සරල රේඛා දෙකක් එකිනෙක ඡේදනය වූ විට සෑදෙන ප්‍රතිමුඛ කෝණ යුගල සමාන වේ.
AÔC = BÔD
AÔD = BÔC
a = c සහ b = d
සරල රේඛා දෙකක් තීර්යක් රේඛාවකින් ඡේදනය වීමෙන් සෑදෙන අනුරූප කෝණ යුගලයක් සමාන වේ නම් හෝ ඒකාන්තර කෝණ යුගලයක් සමාන වේ නම් හෝ මිත්‍ර කෝණ යුගලයක ඓක්‍යය සෘජුකෝණ දෙකකට සමාන වේ නම් හෝ එම සරල රේඛා යුගලය සමාන්තර වේ.
a = e නම් හෝ
b = f නම් හෝ
c = g නම් හෝ
d = h නම් හෝ
AB // CD වේ.
d = f නම් හෝ c = e නම් හෝ AB // CD වේ.
c + f = 180° නම් හෝ
d + e = 180° නම් හෝ AB // CD වේ.
සමාන්තර රේඛා දෙකක් තීර්යක් රේඛාවකින් ඡේදනය වීමෙන් සෑදෙන අනුරූප කෝණ සමාන වේ.ඒකාන්තර කෝණ සමාන වේ. මිත්‍ර කෝණ යුගලයක ඓක්‍යය සෘජුකෝණ දෙකකට සමාන වේ.
(i) AB // CD නම්
a = e
b = f
c = g
d = h
(ii) AB // CD නම් d = f සහ c = e වේ.
(iii) AB // CD නම්,
c + f = 180° සහ,
d + e = 180° වේ.
එක් ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක් සහ අන්තර්ගත කෝණය තවත් ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකකට හා අන්තර්ගත කෝණයට සමාන වේ නම් එම ත්‍රිකෝණ දෙක අංගසම වේ. (පා.කෝ.පා.)
ABC හා PQR Δ වල
AB = PQ
BC = QR
AB̂C = PQ̂R
∴ ABC Δ ≡ PQR Δ
(පා.කෝ.පා. අවස්ථාව)
එක් ත්‍රිකෝණයක කෝණ දෙකක් සහ පාදයක් තවත් ත්‍රිකෝණයක කෝණ දෙකකට හා අනුරූප පාදයට සමාන වේ නම් එම ත්‍රිකෝණ දෙක අංගසම වේ. (කෝ.කෝ.පා.)
KLM හා XYZ Δ වල
MK̂L = YẐX
LM̂K = XŶZ
MK = YZ
∴ KLM Δ ≡ XYZ Δ
(කෝ.කෝ.පා. අවස්ථාව)
එක් ත්‍රිකෝණයක පාද තුන තවත් ත්‍රිකෝණයක පාද තුනකට සමාන වේ නම් එම ත්‍රිකෝණ දෙක අංගසම වේ. (පා.පා.පා.)
ABC හා DEF Δ වල
AB = DE
BC = DF
CA = EF
∴ ABC Δ ≡ DEF Δ
(පා.පා.පා. අවස්ථාව)
සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක කර්ණය සහ පාදයක් තවත් සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක කර්ණයට සහ පාදයකට සමාන වේ නම් එම ත්‍රිකෝණ දෙක අංගසම වේ. (කර්ණ.පා.)
ABC හා PQR සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණවල
AB = PR
BC = QR
∴ ABC Δ ≡ PQR Δ
(කර්ණ.පා. අවස්ථාව)
ත්‍රිකෝණයක පාදයක් දික් කිරීමෙන් සෑදෙන බාහිර කෝණය එහි අභ්‍යන්තර සම්මුඛ කෝණ දෙකෙහි ඓක්‍යයට සමානවේ.
AB̂C + BÂC = AĈD
ත්‍රිකෝණයක කෝණ තුනෙහි ඓක්‍යය 180° කි.
BÂC + AB̂C + AĈB = 180°
a + b + c = 180°
පාද n ඇති බහු අස්‍රයක අභ්‍යන්තර කෝණ සියල්ලෙහි ඓක්‍යය සෘජුකෝණ (2n - 4) ක් වේ. පාද n ඇති බහු අස්‍රයක බාහිර කෝණ සියල්ලෙහි ඓක්‍යය 360° ක් වේ.
a+b+c+d+e+f
= සෘජුකෝණ (2n - 4)
= සෘජුකෝණ [2(6) - 4]
= සෘජුකෝණ 8
= 8 × 90°
= 720°
a+b+c+d+e+f
= 180° × (n - 2)
= 180° × (6 - 2)
= 180° × 4
= 720°
p + q + r + s + t + u = 360°
ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක් සමානවේ නම් ඒ පාද දෙකට සම්මුඛ කෝණ සමාන වේ.
AB = AC වේ.
∴ AB̂C = AĈB
b = c
ත්‍රිකෝණයක කෝණ දෙකක් සමාන නම් ඒ කෝණ දෙකට සම්මුඛ පාද සමාන වේ.
AB̂C = AĈB වේ.
∴ AB = AC වේ.
සමාන්තරාස්‍රයක (i) සම්මුඛ පාද සමාන වේ. (ii) සම්මුඛ කෝණ සමාන වේ. (iii) එක් එක් විකර්ණය මගින් සමාන්තරාස්‍රයේ වර්ගඵලය සමච්ඡේදනය කරයි.
ABCD සමාන්තරාස්‍රයේ
(i) AD = BC , AB = CD
(ii) BÂD = BĈD , AB̂C = AD̂C
(iii) ABD Δ ව.ඵ. = BCD Δ ව.ඵ.
ABC Δ ව.ඵ. = ACD Δ ව.ඵ.
සමාන්තරාස්‍රයක විකර්ණ එකිනෙක සමච්ඡේදනය වේ.
ABCD සමාන්තරාස්‍රයේ
(iv) AO = OC , BO = OD
චතුරස්‍රයක සම්මුඛ පාද සමාන නම් එම චතුරස්‍රය සමාන්තරාස්‍රයක් වේ.
ABCD චතුරස්‍රයේ
(i) AD = BC සහ AB = DC නම්
ABCD චතුරස්‍රය සමාන්තරාස්‍රයක් වේ.
චතුරස්‍රයක සම්මුඛ කෝණ සමාන නම් එම චතුරස්‍රය සමාන්තරාස්‍රයක් වේ.
ABCD චතුරස්‍රයේ
(ii) BÂD = BĈD සහ AB̂C = AD̂C නම්
ABCD චතුරස්‍රය සමාන්තරාස්‍රයක් වේ.
චතුරස්‍රයක විකර්ණ එකිනෙක සමච්ඡේදනය වේ නම් එය සමාන්තරාස්‍රයක් වේ.
ABCD චතුරස්‍රයේ
(iii) AO = OC සහ BO = OD නම්
ABCD චතුරස්‍රය සමාන්තරාස්‍රයක් වේ.
චතුරස්‍රයක සම්මුඛ පාද යුගලයක් සමාන හා සමාන්තර නම් එම චතුරස්‍රය සමාන්තරාස්‍රයක් වේ.
ABCD චතුරස්‍රයේ
(iv) AD = BC සහ AD // BC නම් හෝ
AB = DC සහ AB // DC නම්
ABCD චතුරස්‍රය සමාන්තරාස්‍රයක් වේ.
ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය යා කරන රේඛාව ත්‍රිකෝණයෙහි ඉතිරි පාදයට සමාන්තර වන අතර, එයින් එම පාදයෙන් අඩක් වේ.
AB හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය D ද
AC හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය E ද වේ.
(i) DE // BC
(ii) DE = 1/2 BC
ත්‍රිකෝණයක එක් පාදයක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය හරහා තවත් පාදයකට සමාන්තරව අදින රේඛාවෙන් ඉතිරි පාදය සමච්ඡේදනය වේ.
AB හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය D ද
DE // BC ද වේ.
එවිට AC හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය E වේ.
එනම් AE = EC වේ.
එකම ආධාරකය මත හා එකම සමාන්තර රේඛා අතර පිහිටි සමාන්තරාස්‍ර වර්ගඵලයන්ගෙන් සමාන වේ.
ABCD සමාන්තරාස්‍රයේ වර්ගඵලය = ABPQ සමාන්තරාස්‍රයේ වර්ගඵලය
ත්‍රිකෝණයක් ද සමාන්තරාස්‍රයක් ද එකම ආධාරකය මත හා එකම සමාන්තර රේඛා අතර පිහිටා ඇත්නම් ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය සමාන්තරාස්‍රයේ වර්ගඵලයෙන් අර්ධයකට සමාන වේ.
ABE ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය = 1/2 ABCD සමාන්තරාස්‍රයේ වර්ගඵලය
එකම ආධාරකය මත හා එකම සමාන්තර රේඛා අතර පිහිටි ත්‍රිකෝණ වර්ගඵලයන්ගෙන් සමාන වේ.
ABC ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය = ABD ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය
ආධාරක එකම සරල රේඛාවක පිහිටි පොදු ශීර්ෂයක් ඇති ත්‍රිකෝණවල වර්ගඵල ආධාරකවල දිගට සමානුපාතික වේ.
ΔABD : ΔADC = BD : DC
ΔABD : ΔABC = BD : BC
සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක කර්ණය මත අඳින ලද සමචතුරස්‍රයේ වර්ගඵලය සෘජු කෝණය අදාල පාද මත අඳින ලද සමචතුරස්‍රවල වර්ගඵලයන්ගේ එකතුවට සමාන වේ.
AB² + BC² = AC²
a² + b² = c²
ත්‍රිකෝණයක එක පාදයකට සමාන්තරව අඳින ලද සරල රේඛාවකින් එහි ඉතිරි පාද දෙක සමානුපාතිකව බෙදෙයි.
ABC ත්‍රිකෝණයේ, BC // DE වේ.
එවිට, AD : DB = AE : EC එනම් AD/DB = AE/EC වේ.
x : y = p : q
x/y = p/q
සරල රේඛාවකින් මඟින් ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක් සමානුපාතිකව බෙදේ නම් ඒ සරල රේඛාව ත්‍රිකෝණයේ ඉතිරි පාදයට සමාන්තර වේ.
ABC ත්‍රිකෝණයේ, AD : DB = AE : EC වේ.
එවිට, DE // BC වේ.
ත්‍රිකෝණ දෙකක් සමකෝණී වේ නම් එම ත්‍රිකෝණ දෙකේ අනුරූප පාද සමානුපාතික වේ.
ABC සහ DEF ත්‍රිකෝණ දෙක සමකෝණී නම්,
AB/DF = BC/DE = CA/EF වේ.
ත්‍රිකෝණ දෙකක පාද සමානුපාතික නම්, ඒ ත්‍රිකෝණ සමකෝණී වේ (එක් ත්‍රිකෝණයක පාද තුන, තවත් ත්‍රිකෝණයක පාද තුනට සමානුපාතික වේ නම් එම ත්‍රිකෝණ දෙක සමකෝණී වේ).
ABC සහ DEF ත්‍රිකෝණ දෙකේ AB/DF = BC/DE = CA/EF නම්,
ABC සහ DEF ත්‍රිකෝණ දෙක සමකෝණී වේ.
වෘත්තයක ජ්‍යායක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය කේන්ද්‍රයට යා කරන රේඛාව ජ්‍යාවට ලම්බ වේ.
AB ජ්‍යායයේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය C නම්.
AB ⊥ OC වේ'
(ඉහත ප්‍රමේයයේ විලෝමය)වෘත්තයේ කේන්ද්‍රයේ සිට ජ්‍යායට අඳින ලද ලම්බයෙන් ජ්‍යාය සමච්ඡේදනය වේ.
OT ⊥ PQ නම්.
PT = TQවේ.
වෘත්ත චාපයකින් කේන්ද්‍රය මත ආපාතනය කරන කෝණය, එම චාපය මඟින් වෘත්තයේ ඉතිරි කොටස මත ආපාතනය කරන කෝණය මෙන් දෙගුණයක් වේ.
AÔB = 2AĈB
වෘත්තයක එකම ඛණ්ඩයේ කෝණ සමාන වේ.
AP̂B = AQ̂B = AR̂B
අර්ධ වෘත්තයක පිහිටි කෝණය සෘජුකෝණයක් වේ.
AP̂B = 90°
වෘත්ත චතුරස්‍රයක සම්මුඛ කෝණ පරිපූරක වේ..
ABCD චක්‍රීය චතුරස්‍රයක් නිසා
AB̂C + CD̂A = 180°
(b + d = 180°)
BÂD + BĈD = 180°
(a + c = 180°)
චතුරස්‍රයක සම්මුඛ කෝණ යුගලයක් පරිපූරක නම් එම චතුරස්‍රයේ ශීර්ෂ වෘත්තයක් මත පිහිටයි.
AB̂C + CD̂A = 180° ද හෝ
BÂD + BĈD = 180° ද වන්නේ නම්,
ABCD චක්‍රීය චතුරස්‍රයක් වේ.
වෘත්ත චතුරස්‍රයක පාදයක් දික් කළ විට සැදෙන බාහිර කෝණය අභ්‍යන්තර සම්මුඛ කෝණයට සමාන වේ.
AB̂C = AD̂E
වෘත්තයක් මත වූ ලක්ෂ්‍යයක් ඔස්සේ අරයට ලම්බව ඇඳි රේඛාව වෘත්තයට ස්පර්ශකයක් වේ.
OA ⊥ PQ නම් PQ රේඛාව වෘත්තයට ස්පර්ශකයක් වේ.
වෘත්තයක් මත ලක්ෂ්‍යයක දී අඳින ලද ස්පර්ශකයට, එම ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේ දී ඇඳි අරයට ලම්බ වේ.
වෘත්තයේ කේන්ද්‍රය O වේ. A යනු ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයයි. OA , PQ ට ලම්භ වේ.
OA ⊥ PQ
බාහිර ලක්ෂ්‍යයක සිට වෘත්තයකට ස්පර්ශක දෙකක් ඇඳිය හැකි අතර එම, (i) ස්පර්ශක දෙක දිගින් සමාන වේ. (ii) ස්පර්ශකවලින් වෘත්ත කේන්ද්‍රය සමඟ සමාන කෝණ ආපාතනය කරයි. (iii) බාහිර ලක්ෂ්‍යය හා කේන්ද්‍රය යා කරන සරල රේඛාව, ස්පර්ශක අතර කෝණය සමච්ඡේදනය කරයි.
(i) PA = PB
(ii) PÔA = PÔB
(iii) OP̂A = OP̂B
වෘත්තයකට ඇඳි ස්පර්ශකයක්, ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේ දී ඇඳි ජ්‍යායක් අතර කෝණය ඒකාන්තර වෘත්ත ඛණ්ඩයේ කෝණයට සමාන වේ.
AB̂E = AB̂C